数学与物理学——科学的王后与国王

文/施 郁

伽利略曾说:“只有当我们学会宇宙的语言并熟悉它的字句时,我们才能阅读宇宙这本书。它是用数学语言书写的,字符是三角形、圆与其他几何图形。如果没有数学语言,人类就不能懂得宇宙的任何一个词,只能在黑暗的迷宫里徘徊。”(注:本文的引文均由笔者翻译自英文)

数学是否描述客观世界
然而正如爱因斯坦所说:“数学规律是否反映了现实世界,是不确定的;而其中所确定的部分,又不是关于现实世界的。”数学研究纯粹的数量和几何规律,是关于数和形的抽象学科。基于数学概念之间的逻辑关系,可以从少数的基本假设(称作共设或公理)出发,得到各种推论,从而建立一套自洽的数学结构。这套数学结构只需要逻辑自洽,并不要求与客观世界一致。所以严格来说,数学不是自然科学。评断一个数学理论是否描述客观世界,需要物理学来确定。
一个著名的例子是非欧几何。欧几里得几何中的第五公设即平行公设:如果一条直线与两条直线相交,如果某一侧的内角和小于两个直角和,那么这两条直线延伸下去,一定会在内角和小于两个直角的这一侧相交。当时,包括欧几里得本人在内的古希腊人就觉得这个平行公设与其他四个公设不大一样。后来发现,放弃这个平行公设也可以有完全自洽的几何学——非欧几何。
非欧几何理论与我们的日常经验不大一致,但是后来在广义相对论等物理理论里找到了应用。然而数学本身并不以这些应用为基础,即使没有找到应用,作为自洽的数学依然成立。
物理学则是关于客观物质世界的科学,在实验和观测基础上建立定量的物理定律,逐步揭示世界的规律。根据从微观到宏观再到宇观的不同层次,物理学可以分为很多不同分支的学科。其中分子层次的许多研究因为历史的原因被称作化学。

数学与物理学的分分合合
数学和物理学的发展密不可分,早期的数学反映了人们直接观察到的规律,数学与物理学的发展相互促进。物理学家重视根据实际情况作近似,数学家则重视严格证明。牛顿为了建立他的经典力学而独立于莱布尼兹发明了微积分。莱布尼兹发明微积分则是以数学计算为目的,比如计算函数曲线下的面积。
后来数学与物理学分离了,向不同的方向发展。“纯”数学变得非常抽象,脱离了物理实际去发展,比如黎曼几何在19世纪得到了很大的进步。
再后来,数学与物理学又密切起来。爱因斯坦创立广义相对论时,数学上请他的同学格罗斯曼帮忙。格罗斯曼发现,描述广义相对论的数学正是黎曼几何。可见,数学能够超前物理获得发展,从而为后来的物理学研究提供数学工具。

当代物理学促进数学发展
当代物理学更是促进了数学的发展。杨振宁和米尔斯1954年提出杨-米尔斯理论(即非阿贝尔规范理论)的时候,并不了解这个理论在数学上的意义。20世纪60年代后期,杨振宁注意到黎曼张量与规范场强非常相似,深感震撼,就去请教他所在的美国纽约州立大学石溪分校的数学系主任西蒙斯(后来成了投资家)。
西蒙斯认为,规范场与纤维丛应该有关系。杨振宁与吴大峻(理论物理学家)分析了规范场的数学涵义,引发数学家深入研究规范场的几何意义。数学家辛格、阿蒂亚、希钦、唐纳森作出了重要贡献,唐纳森因此获得1986年的菲尔兹奖(被视为数学界的诺贝尔奖)。更有甚者,美国物理学家威腾由于研究弦理论而对数学作出贡献,因此获得1990年的菲尔兹奖。
高斯说,数学是科学的王后。那么,物理学可以说是科学的国王。

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