托尔斯泰的数学修养

文/ 蔡天新

蔡天新
浙江大学教授,《数学传奇》《数学简史》作者,2018年曾做客中央电视台《朗读者》,近作有《我的大学》《数学的故事》《带着数字和玫瑰旅行》。《我的大学》是少年大学生的成长史,亦记叙了他文理兼修的心路历程。
狄多女王和皮格马利翁这对姐弟各自的爱情故事曲折动人,被罗马诗人维吉尔和奥维德先后写进他们的诗歌中。
在维吉尔的史诗里,狄多在迦太基遇见并爱上了特洛伊王子、罗马城的创建者埃涅阿斯纪。女巫姐妹为了破坏他们的爱情,骗他离开迦太基去完成一项使命,结果狄多误以为自己被情人背叛,自刎而死。英国画家透纳画过《狄多建设迦太基》。1689年,英国作曲家普赛尔曾写过一出歌剧《狄多与埃涅阿斯纪》。
依照希腊神话,皮格马利翁是钟情于爱神阿芙洛狄忒雕像的塞浦路斯国王。他因此不喜欢凡间女子,决定永不结婚。而在奥维德的《变形记》里,皮格马利翁却成为一个雕刻家,他以神奇的技艺用象牙雕刻了一尊美丽无比的少女像,在夜以继日的工作中,他把自己全部的精力、热情和爱恋都赋予了这尊雕像。他像对待爱人和妻子那样抚爱它,装扮它,为它起名加拉泰亚,并向神乞求让它成为自己的妻子。阿芙洛狄忒得知以后,被他的真诚打动,赐予雕像生命,并让他们结为夫妻。
法国雕塑家罗丹、爱尔兰剧作家萧伯纳等都塑造过皮格马利翁,电影《窈窕淑女》则表达了所谓的“皮格马利翁效应”主题,即当我们对某件事情怀着非常强烈的期望,所期望的事情就会出现。
皮格马利翁效应在学校教育中表现得非常明显。受老师喜爱或关注的学生,学习成绩或其他方面都会有很大进步,而受老师漠视甚至歧视的学生则有可能从此一蹶不振。在企业管理方面,一些精明的管理者也懂得利用“皮格马利翁效应”激发员工的斗志,从而创造更大的经济效益。这方面,通用电气CEO韦尔奇、钢铁大王卡内基、有着“经营之神”美誉的松下幸之助均有成功的实例。
狄多女王圈地的故事,也曾激发俄国大文豪列夫·托尔斯泰的灵感。他是一位数学爱好者,喜欢将数学问题融入文学创作。他写过一篇题为《一个人需要很多土地吗?》的小说。作品巧妙地运用数学知识,对贪婪的主人公进行了绝妙的讽刺,读到最后,还能感受到一丝悲剧的氛围。
小说的主人公叫巴河姆,他遇到一个奇特的卖地者:不论是谁,只要交1000卢布,就可以在草原上,从日出出发,走到太阳落山,只要在天黑之前回到出发点,那么他走过的路线所围住的土地,就都属于他;如果没回到出发点,那么他一点土地也得不到,1000卢布就算打了水漂。
巴河姆交了1000卢布以后,天一亮就开始大步行走。他先沿一条直线走了10俄里(1俄里=1.0668千米),然后左拐弯90度,又走了相当一段距离,再次向左拐弯90度,走了2俄里。这时他发现天色已不早,于是向着出发点狂奔起来,跑了15俄里之后,他终于赶在日落时分踩上了出发点。这时候,只见巴河姆双腿一软,栽倒在地,口吐鲜血,一命呜呼了。
小说实际上出了一道并不难的几何题:巴河姆走的路线构成了一个上底为2、下底为10、斜腰为15(单位均为俄里)的直角梯形,这个梯形的周长是多少?面积又是多大呢?学过勾股定理的读者应该会算梯形的高和面积。如果巴河姆活着,他可以得到约86.64平方千米(约合13万亩)土地!这就是贪婪者的下场。
有趣的是,如果计算一下这个直角梯形的周长,会得到39.7俄里的结果,而按照俄里与千米的换算比率,这个距离恰好是马拉松长跑的距离(42.195千米)。当年那个希腊士兵在他们的军队战胜波斯帝国的军队以后,从马拉松跑回雅典报捷,结果喊了一声“我们胜利了!”就倒地累死了,巴河姆也是跑了同样的距离后累死。
看来托尔斯泰不仅构思巧妙,且数学修养不赖。如果巴河姆不跑直角梯形,而是别的什么路线,应该可以少走很多路而得到同样大小的土地。这就是狄多女王面临的变分法问题,答案是圆。如果巴河姆当初走的是一个圆,那么圈住13万亩土地只需要走33千米左右,那样的话他可能就不会累死。类似的还有,用什么形状的容器可以容纳尽可能多的液体或气体?答案是球。

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