公鸡、母鸡、雏鸡与兔子(下)


文/ 蔡天新

蔡天新

浙江大学数学学院教授、诗人、作家,近作有《轻轻掐了她几下》(万卷出版社)、《数学传奇》(商务印书馆)、游记《里约的诱惑——回忆拉丁美洲》(海豚出版社)、《数之书》英文版(World Scientific),主编《冥想之诗》《漫游之诗》(人民文学出版社)。

正当中国和同处于东方的印度、阿拉伯在包括数学在内的诸多文明做出新的贡献时,欧洲却处于中世纪漫长的黑暗时代。不过,那时的亚平宁半岛,数学家的景况并不算太糟。罗马教皇西尔维斯特二世非常喜欢数学,他能够登基也与这个嗜好有关,可谓数学史上的一个传奇。事实上,他曾经是罗马皇帝太子的家庭数学教师。
这位教皇本名热尔贝,原本是一个学者型的大主教,有证据表明,他把印度-阿拉伯数码引入意大利。据说热尔贝还做过算盘、地球仪和时钟,在他亲自撰写的著作《几何学》里, 解决了当时的一个难题:已知直角三角形的斜边和面积, 求出两条直角边的边长。
在热尔贝任教皇期间,迎来了科学史上赫赫有名的翻译时代。除了欧几里得、阿基米德、托勒玫和阿波罗尼奥斯等希腊数学家的名著以外,译成拉丁文的著作还有阿拉伯人的学术结晶,如花剌子米的《代数学》。这些翻译工作一直延续到12世纪。
到了13世纪,政治和人文氛围变得相对开放,数学领域也不甘落后,出现了中世纪欧洲最杰出的数学家斐波那契(约1170—约1250)。他出生在意大利比萨,年轻时随着身为政府官员的父亲前往北非的阿尔及利亚,在那里接触到阿拉伯人的数学并学会了印度-阿拉伯数码。
后来,斐波那契又到过埃及、叙利亚、拜占庭和西西里等地,学到了东方人的计算方法。回比萨不久,他写成并出版了著名的《算经》(又名《算盘书》,但与算盘无关)。他出名以后,成为酷爱数学、诗歌和美女的神圣罗马帝国皇帝腓特烈二世的宫廷数学家。
斐波那契既是欧洲数学复兴的先锋,也是东西方数学交流的桥梁。16世纪的意大利数学家、三次和四次方程解法集大成者卡尔达诺这样评价他的前辈同胞:“我们可以假定,所有我们掌握的希腊以外的数学知识都是由于斐波那契的出现而得到的。”
《算经》的第一部分介绍了数的基本算法,采用的是巴比伦人发明的六十进制。斐波那契率先使用了分数中间的那条横杠“—”,这个记号一直沿用至今。第二部分是商业应用题,其中“30钱买30只鸟”与“百钱买百鸡”如出一辙:“今有30只鸟值30钱,其中每只山鹑值3钱,每只鸽子值2钱,一对麻雀值1钱,问每种鸟各多少?”
9世纪的埃及数学家阿布卡米尔的著作中曾出现“百鸡问题”,一般认为是由印度传入的。斐波那契在旅途中接触过并受到阿布卡米尔著作的影响,因此我们可以推测,此类问题是由中国经印度、阿拉伯传入欧洲的。
第三部分是杂题和怪题,其中尤以“兔子问题”引人注目:由一对小兔开始,一年后可以繁殖成多少对兔子?其中规定:每对兔子每月能生产一对小兔,而每对小兔两个月大就成为可以繁殖的大兔。依据“兔子问题”,很容易得到所谓的斐波那契数或斐波那契序列:
1,1,2,3,5,8,13,21,34……
这个序列的递归公式(可能是数学家发现的第一个递归公式)是
F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n≥3) (F)
斐波那契序列出现在许多数学问题中,它还可以用来帮助解决诸如蜜蜂的繁殖、雏菊的花盘和艺术美感等方面的问题。在笔者的著作《数之书》的中、英文版中,序言的插图均严格依照斐波那契数排列,即第1页两幅插图,第2、3、5、8和13页各有一幅插图。
另外,有一个很有趣的爬楼梯的例子。假设你可以一步登一个台阶,也可以一步登两个台阶。试问,攀登一个有n个台阶的楼梯有多少种方式?
设共有an种方式,易知a1=1,a2=2。进一步分析:假设第一步登了一个台阶,则还有an-1种选择;假设第一步登了两个台阶,则还有an-2种选择。这样一来,就得到
an=an-2+an-1
比较上式和公式(F)以及初始值,即可得an=Fn+1。
从斐波那契留下来的画像来看,他的神韵颇似晚他3个世纪的同胞画家拉斐尔。斐波那契常常以旅行者自居,人们喜欢称他是“比萨的列奥纳多”,而把名画《蒙娜·丽莎》的作者称为“芬奇的列奥纳多”。
1963年,世界各国一群热衷研究“兔子问题”的数学家成立了国际性的斐波那契协会,并着手在美国出版《斐波那契季刊》(Fibonacci Quarterly),专门刊登研究与斐波那契序列有关的数学论文,同时,两年一度在世界各地轮流举办斐波那契序列及其应用国际会议。这在世界数学史上可谓一个奇迹或神话了。


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