花环数或回文数

文/ 蔡天新

 

赏花归去马如飞,
去马如飞酒力微。
酒力微醒时已暮,
醒时已暮赏花归。
  
12世纪的一个夏日,大诗人苏东坡陪妹妹游杭州西湖时写下了这首回文诗。“回文”是指正读反读都能读通的句子,它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏,例如,“我为人人,人人为我。”在英文里也有回文:“Race car”“Step on no pets”“Put it up”“Was it a car or a cat I saw?”“A man,a plan,a canal,Panama!”又如西班牙文里有“Amor Roma”。
有趣的是,数学里也有一种叫回文数的游戏。
大约在公元850年,印度数学家马哈维拉撰写了《计算精华》一书,该书曾在南印度被广泛使用。1912年,这部书被译成英文在马德拉斯出版,成为印度第一部初具现代形式的教科书。书中提到了“花环数”,即将两整数相乘,使其乘积的数呈中心对称,此即“回文数”。马哈维拉找到了一些回文数,例如:
   14287143×7=100010001,
   12345679×9=111111111,
   27994681×441=12345654321。
之所以称花环数,估计与印度人爱花,同时花环是无头无尾且对称有关。英文里叫Palindromic number,阿拉伯人称其为谢赫拉莎德数,即以《一千零一夜》里那位会讲故事的王妃命名。事实上,1001本身便是一个花环数。
方幂数里也有许多花环数,例如112=121,73=343,114=14641。迄今为止,人们尚未找到5次或更高次幂的回文数,于是有了下列尚未证明的猜想。
猜想 不存在形如nk(n≥2,k≥5)的回文数。
值得一提的是,四位和六位回文数有一个特点,它们绝不可能是素数。例如,设其为abba,它等于1000a+100b+10b+a=1001a+110b,能被11整除。
一个回文数,如果它同时还是某个数的平方,就叫作平方回文数。1000以内的正整数里,有108个回文数,而平方回文数只有6个,即1、4、9、121、484、676;考虑到1000以内的平方数只有31个,因此比例相对较高。有些数,通过不断与它的倒序数相加,也可得到回文数。例如,29+92=121;194+491=685,586+685=1271,1271+1721=2992。于是,就有了以下问题。
问题 是否任何一个正整数与它的倒序数相加,所得的和再与和的倒序数相加,如此反复,经过有限次步骤后,最后必定可以得到一个回文数?
必须指出,有些数至今仍未发现有此类特征,例如196。在电子计算机尚未问世的1938年,美国数学家拉赫曼便已计算到了第73步。2006年,数学家已计算到699万步,得到了一个2.89亿位的和数。2015年,这个和数达到了10亿位,仍不是回文数。也就是说,人们既不能肯定运算下去是否永远得不到回文数,也不知道需要再运算多少步才能得到回文数。
通过倒序数相加永远得不到回文数的正整数被称为“利克瑞尔数”(Lychrel number),196可能是最小的利克瑞尔数,因而受到了特别的关注。说起这个名字,它的来历也蛮有趣,是命名者韦德·范·兰丁厄姆(Wade van Landingham)姓氏的第一个字母L与他当时的女友谢莉尔(Cheryl)名字的字母拼贴而成。
不难看出,假如196或其他数是利克瑞尔数,那么它后面的那些和数都是。也就是说,只要有一个利克瑞尔数,就有无穷个利克瑞尔数。另外,还有一个关于回文数计算步数的世界纪录。它是一个19位数字1186060307891929990,算出它的回文数用了261步,这是在2005年11月30日找到的。

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